Většina z nás se naučí počítat do třech roků. Jakmile zjistíme jak, zdá se, jakoby neexistovalo nic, co by nám zabránilo počítat donekonečna. I když nekonečno se může zdát jako úplně nevinný nápad, počítejte dále a ocitnete se ve světě paradoxů, kde nic není takové, jaké se zdá být. Starší než čas, větší než vesmír a divnější než fikce. Toto je příběh nekonečna. Dokumentární film B.B.C. o děsivém nekonečnu a jeho paradoxech. Jaké je největší číslo? Je nějaké, nebo se dá počítat do nekonečna? Pokud je vesmír nekonečný, jaké to má důsledky? Může opice na stroji napsat smysl-dávajívcí knihu?

Předmluva (ukázka z předmluvy B. Mandelbrota ke své knize)
Úvodem k pochopení fraktálů si nejprve položme otázku, zda může mít nějaký geometrický útvar stejný tvar, i když si jej prohlížíme zblízka. Této vlastnosti se začalo nedávno říkat soběpodobnost. Zdá se to být vlastnost podivná, jenže právě ona se stala semínkem, z něhož rozkvetla celá nová geometrie. Podivná je i při použití na ideální přímku či rovinu, což jsou příklady sebepodobnosti, které zná každý. Kulová plocha naproti tomu soběpodobná není: prohlížíme-li ji z blízka, zdá se být rovinou, z dálky se pak jeví – jako každý ohraničený předmět – jako bod.

Před sto lety, v době mezi lety 1875 a 1925, si pronikaví matematici uvědomili existenci řady kuriozit či monster, útvarů, které se zdály být nové a jimž v přírodě nic neodpovídalo, ba dokonce odporovaly geometrické intuici. Některé z těchto útvarů byly soběpodobné a právě tato vlastnost je dovolovala popsat nejjednodušším způsobem. … Neprozíravě se jim říkalo "výjimky". Ukázal jsem naopak, že fraktálnost je v přírodě téměř pravidlem. Někdy se dotýká podstatného, jindy se zabývá jen detaily.

Tato odvážná a interdisciplinární teze vyvolává nedůvěru a je třeba ji upřesnit a učinit "přirozenou". Podstatné zde je, že přímka a rovina jsou dokonale hladké. Zpravidla se však věci hodně vzdalují tomuto ideálu: nejsou hladké, nýbrž v detailech či v podstatě hrubé.

Pomysleme nyní na soubor zpráv, které dostáváme od našich smyslů. Zprávy od zraku a sluchu, pokládané za velmi jemné, byly nejdříve a nejlépe prozkoumány. To je možná důvod, proč se někomu zdálo, že byly zkoumatelné nejsnadněji.

Na druhém konci zůstával smysl hladkosti či drsnosti vně věd. Náležel světu praktické mechaniky, v němž se inženýři snažili zbavit se tření, které se nezdálo být možné zvládnout nějakým obecným pojetím. Otázky kladené drsností nebylyl hloupé, nýbrž nezvládnutelné. Protože nebylo k dispozici nic lepšího, byly odpovědi na tyto otázky vyhýbavé a nepřiměřené. Pomyslete například na takové nevyhnutelné otázky jako:

Jak měřit hrubost či prchavost burzovních časových řad, byť jen s cílem realisticky vyhodnocovat finanční rizika?

Jak změřit pobřeží Bretaně?

Jak charakterizovat tvar pobřeží, řeky, povodí či hranici vodní nádrže, ať už v kontextu hydrauliky či dynamických systémů?

Jak stanovit rychlost větru za bouře?

Jak měřit a srovnávat drsnost a hrubost obyčejných předmětů, jakými jsou například rozbitý kámen, svah, hora nebo kus starého železa?

Jaký tvar má oblak, plamen či svár?

Jaká je hustota galaxií ve vesmíru?

Jak se mění aktivita internetové sítě?

Na všechny tyto otázky dala první uspokojivé odpovědi fraktální geometrie. V každém případě se tyto odpovědi zakládají na překvapivém pozorování, že hrubost je často fraktální. V četných případech – ať už jde o přírodní jevy nebo o lidské výtvory (takové, jako jsou burz nebo internet) – se fraktální geometrie stává startovací mapou první teorie "jednoduché" hrubosti.

Abychom to shrnuli a zklidnili veškeré znepokojení, které by fraktály mohly vyvolat: tato nová geometrie se zrodila z propojení jisté ezoterické matematiky s nejhrubšími z našich smyslů. Trvala, stávala se plodnou, prosazovala se a nikdy jí nechyběly problémy k řešení.

B. Mandelbrot (Z knihy Fraktály – tvar, náhoda a dimenzeMladá fronta, Praha 2003)

Zelené fraktály I malé dítě si někdy všimne, že tvar a strauktura koruny stromu jsou podobné tvaru a struktuře listu, větvička j podobná celé koruně, i uvnitř plodu vlašského ořechu jakobychomviděli celý zakletý strom, Drsnost předmětů, vrásnění hor i zákruty mořského pobřeží, to je jeden z důležitých aspektů hmoty, protiklad drsnosti a hladkosti vnímá člověk od času, kdy pije z matčina prsu až po čas hlazení a zkoumání těla sexuálního partnera a intuitivně cítí, že tudy prochází hranice čehosi velmi podstatného v chápání života a materiálné existence vůbec.

Drsnost, to je vlastně jen synonymum k rozprostraněnosti hmoty, v tomto pojmu je obsažena snaha definovat hranici, kde končí jedno a začíná druhé, snaha bez které by svět nebylo možné vůbec popsat. V přírodě se s fraktály setkáváme na každém kroku a jejich přítomnost má mnoho důvodů. Tím nejzákladnějším důvodem je dialektika, tedy prostý a dialektice odpovídající fakt, že nic v přírodě nemůže být absolutně nahodilé a absolutně chaotické, a cestu nejmenšího odporu tedy představuje nikoliv absolutní chaos, ale přeci jen určitý řád.

Chaos od určité hranice je prostě "pracnější". Neživá příroda ovšem podle tradiční vědy nemůže vytvářet dokonalé fraktály mimo určité mimořádné případy a v mnoha případech také určitý nejbližší fraktální typ spíše sami aplikujeme ve snaze modelovat určitou reálnou strukturu nebo proces, než, že by zde existoval dokonalý fraktál. Realita se prostě podle tradiční vědy blíží tomu či onomu fraktálu, aniž by o tom "věděla" a aniž by měla nějaké univerzální nástroje na jejich zdokonalování a prosazování.

Fraktální matematika nám tak může pomoci vyjádřit nekonečnou složitost "konečného" mořského pobřeží, reliéfu hor, vývoje cen na burze a podobně, ale většinou nám neřekne, proč jsou reálné fraktální struktury tak dokonalé a proč příroda tak ochotně používá fraktální logiku. Praxe nám ukazuje, že v přírodě (živé i neživé) se vyskytuje mnohem více a mnohem dokonalejších fraktálů, než by tomu podle tradiční vědy mělo být.

Není např. jasné, kde se "učí" krystalizovat např. některé krystaly (včetně sněhových vloček), odkud berou logiku některé UFO či pravé kruhy v obilí, odkud berou své vzory některé rostliny nebo co pomáhá udržovat úžasnou strukturální a funkční stabilitu každé buňky živých organizmů. (Některé příčiny morfologie různých úrovní organizace hmoty tradiční věda zná, ale ty k vyčerpávajícímu pochopení mnohých jevů nestačí.)

Vypadá to, jakoby příroda ve skutečnosti (a v rozporu s tradiční vědou) měla k dispozici jakýsi univerzální nástroj, jakési nehmatatelné fraktální zrcadlo umožňující fraktální vzorce na různých úrovních organizace hmoty odrážet, zachycovat a zpětně vysílat, tedy udržovat, zdokonalovat a rozšiřovat (multiplikovat) vzniklé fraktální struktury.

Člověk, který učinil rozhodující průlom při zaplňování bílého místa na mapě poznání, je biolog Rupert Sheldrak, a jeho teorie morfogenetického pole (dále jen TMP) vysvětluje nejen způsob, jak se fraktály (a jiné strukturální symetrické vzorce) účinněji prosazují a zdokonalují, ale i řadu do té doby nevysvětlitelných fenoménů z oblasti fyziky, biologie, ale třeba i z oblasti psychologie, výzkumu paranormálních jevů či sociálního chování.

Je to pochopitelné, že v době velkého pokroku vědy nová zásadní teorie pomáhá řešit širší škálu problémů. TMP nás vede k chápání světa jako k symfonii forem, které jako zvuky rezonují s určitými strukturami, a tyto struktury zase zpětně vysílají další formotvorné tóny. Dokonce si můžeme představit jakoby na Zemi či v kosmu existovala jakási banka těchto tónů, ze které je možné čerpat tyto formující (morfující, morfogenetické) podněty různého druhu.

Někdy se zdá, jakoby šlo o nemateriální proces, o nepřetržité vysílání/příjem čistých forem očištěných od materiálních prostředníků, nositelů, původců a souvislostí. Popravdě řečeno tato éteričnost celého procesu skutečným vědcům nevadí. Vědcům stačí, že má určitý poznávací matematický či filozofický model světa či jeho procesů praktické využití a od těch stránek modelu, které nesedí nebo jsou nepochopitelné a nenázorné prostě odhlížejí.

Věda nemá problémy s pojmy jako nekonečno, iracionální číslo, relativita apod. a běžně (a výhodně) s nimi operuje a popisuje zcela materiální a hmatatelné jevy.

Je jasné, že geny se opírají o fraktály a fraktály o geny. Příroda přišla velmi dávno na to, že je výhodné naslouchat ultrajemnému hlasu fraktálních vysílačů. Dnes není téměř možné rozlišit, kde byl první gen a kde fraktál, zda byla první slepice nebo vejce. A co je vlastně slepicí a co vejcem? Mnoho myslitelů z opblasti léčitelství, vývojové biologie, genetiky a psychologie již dávno upozozorňovalo na mimogenetické a mimobuněčné formy dědičnosti, například na to, jak se duševní onemocnění může přenést pouhou fyzickou blízkostí nemocné matky a zdravého dítěte.

Zdá se, že i pojem biorezonance, kterým si léčitelé a psychotronici vysvětlují některé záhadné jevy v alternativní medicíně, má díky TMP mnohem jasnější obsah, který poukazuje na jeho správnost.

Živočišný nebo rostlinný organizmus (resp. jeho důležitá část), který je utvářen podle fraktálního vzorce podle TMP tvoří jakýsi homogenní přijímač/vysílač morfogenetického pole (obecněji: formálního pole) a organizmus patrně i díky tomu snáze udržuje svou fyziologickou stabilitu ve spojení se svým energoinformačním pravzorem, kterým se zároveň odlišuje od jiných druhů a od chorobných stavů.

Podle vědeckých výzkumů v různých oblastech biologie samotný genetický vzorec pro požadovanou vývojovou a fyziologickou stabilitu organizmů není dostačující. Činnost ani jedné jediné buňky a stabilitu jejích funkcí není prostě možné vysvětlit jen na základě jejího biologického mechanismu a vnějších biologických řídících systémů a fyziologického prostředí. Kdybychom jedinou buňku složitého organizmu zvětšili na úroveň továrny a snažili se mechanisticky nahradit její orgány odpovídajícími přístroji, fuňka by uspokojivě pracovala jen malou chvíli a zdaleka by nereagovala tak komplexně jako živá buňka.

Bez pomyslného opěrného energoinformačního vzorce (uloženého a sdělovaného podle Ruperta Sheldraka reálně prostřednictvím morfogenetického pole) by každá živá buňka musela zaniknout, ať je již morfogenetické pole zcela reálné nebo jde jen o určitý model komplexity buňky a jejích částí, kterou zatím nejsme schopni v plné šíři dešifrovat a chápat.

Fraktální struktury, opakující se samy v sobě donekonečna jsou zřejmě ještě účinnějšími biorezonátory než jiné pravidelné struktury krystalů, šroubovnice DNA, polycyklických organických sloučenin atd., kde se vzorec opakuje spíše jen v určité velikosti. Také spirálovitou ulitu nebo pyramidu můžeme chápat jako fraktální vzorec opakující se sám v sobě v různé velikosti.

Každá rostlina používá nějakou fraktální berličku, ale některé rostliny jsou samy o sobě názorným schématem svého fraktálu. Jako příklad připojuji 2D fraktál okolíku rostliny z čeledi miříkovitých (alespoň jak jej vidím já) a 3D fraktál květáku odrůdy Romanescu.

Nepochybuji, že díky poznání fraktální logiky živé přírodě budeme moci jednou lépe poznat souvislosti v jejím fungování a léčit mnohé nemoci přírody a živých organizmů včetně člověka. Možná také lépe pochopíme, jak katastrofální dopad může mít vymizení jediného živočišného druhu nebo vypuštění jediné umělé látky do životního prostředí.

Proč se některé rostliny snášejí a jiné ne, aniž by se to vždy dalo vysvětlit na principu biochemického a biofyzikálního působení?
Proč některé látky léčí, aniž by byl znám důvod z hlediska (tradiční) fyziky, chemie a biochemie?
Proč někdy tak překvapivě zabírají homeopatika, přestože jde mnohdy jen o materiálně neuchopitelnou informaci?
Proč dokáže velmi malé množství protilátky zcela změnit strukturu bílých krvinek?
Jak je možné, že mávnutí motýlích křídel na jedné straně světa může někde jinde vyvolat tajfun?
Jakto že někdy se virové či prionové onemocnění přenese i bez viru či infekčního prionu?
Jakto, že se zdravé buňky v okolí nemocné začnou chovat jako nemocné dříve, než jsou infikovány?
Jakto, že rostliny reagují na hudbu a lidský hlas?
Jakto. že sněhové vločky reagují na hudbu i pouhé myšlenky?
Jakto že se opice na jednom ostrově naučí telepaticky novým kouskům od opic na druhém ostrově?
Jak vůbec funguje telepatie?
Jak je možné léčit na dálku?
Jak se učí krystaly růst v nové soustavě?
Proč nové látky krystalizují pomaleji než tytéž látky vyrobené později?
Na tyto a mnoho jiných otázek nám již dnes odpovídají odborníci na chaologii a TMP.

Fraktální matematika pomáhá řešit počet členů optimálního zastoupení. 7 nilionů voličů v optimálním případě zastupuje 2645 členů politických stran a 51 členů parlamentu. Při 26 politických stranách by průměrný/ optimální počet členů strany byl jeden tisíc.

Fraktální matematika pomáhá vysvětlit, proč vesmírné pozadí není při velkém počtu hvězd bílé, ale černé. Jde o podobnost malých a velkých částí vesmírného agegátu/detergenátu. Jestliže si namodelujeme nějakou základní strukturní jednotku vesmírů, je z hlediska fráktálního záíkona sebepodobnosti jasné, že ani nekonečným rozvojem (zvětšujících se/zmenšujících se) jednotek nedojde nikdy k úplnému zakrytí pozadí při pohledu na libovolně velký úsek vesmíru.

Lidé z hnutí Sisyfos zahájili před časem propagandistickou kampaň proti Sheldrakovi a jeho teoriím. Myslím, že to jen dokazuje, že by na tom mohlo něco být. Pravdu totiž nelze odhlasovat ani překřičet, to by si dědci kazivědci z podobných koniášských hnutí měli uvědomit.

Darius Nosreti

Fraktály a chaos
autor: Pavel Vachtl

1. Co je fraktál, fraktálová dimenze (rozměr), fraktální jazyk přírody
Obyčejné, hladké geometrické útvary. Celočíselná dimenze.

"Normální" útvary kolem nás se dají popsat nebo zobrazit pomocí jistého konečného počtu obrázků či parametrů, které je charakterizují. Každý z nás intuitivně ví, jak vypadá krychle, koule, čtverec, přímka, rovina. Víme také, jak vypočítat délku, plochu či objem těchto útvarů (většinou se jedná o jednoduchá násobení či součty) - výsledkem je vždy konečné, konkrétní číslo, ať se to počítá jakkoliv, z libovolně malých dílků.

Podobně můžeme spočítat tyto veličiny i u libovolné "rozumné" kombinace těchto elementárních útvarů, stejně jako u křivky, plochy apod. libovolně zakřivené, ale v jistém smyslu "normální", tj. např. hladké. (elipsy, hyperboly, paraboly). Těmto útvarům můžeme přiřadit jisté celé číslo, které se nazývá počtem rozměrů či dimenzí daného útvaru. Takže "hladká" přímka či křivka má dimenzi 1 (je jednorozměrná - poloha bodu na nich je charakterizována JEDNÍM číslem - souřadnicí), hladká "sebezprohýbanější" plocha má dimenzi 2, krychle, koule, válec či běžný prostor kolem nás mají dimenzi 3, protože poloha každého bodu v nich je jednoznačně určena třemi čísly - souřadnicemi.

Všimněme si, že např. poloha nějakého místa na "kulaté" Zemi je určena také 3 čísly - zeměpisnou šířkou, zeměpisnou délkou a ještě nadmořskou výškou, tedy vystačíme se třemi souřadnicemi, protože náš prostor, který známe z vlastní zkušenosti, má 3 rozměry. A všechny běžné útvary v něm mají dimenzi buď 1,2,3 nebo - 0 (to platí pro bod, protože polohu jakéhokoliv prvku "v něm" není třeba určovat žádným číslem). Nekonečně členité útvary - fraktály.

Fraktální (neceločíselná) dimenze.
Je proto velmi zajímavé, že existují ještě jiné (geometrické) útvary, které však nejsou pouhým plodem abstraktní fantazie matematiků, ale mají své vzory přímo v přírodě. Vezměme si například, jak vypočítat délku pobřeží nějakého reálného ostrova. Máme-li linii pobřeží znázorněnu na nějaké mapě např. měřítka 1:100 000, pomocí třeba kružítka můžeme přibližně "kopírovat" tuto linii a přenést ji na lineární (přímé) pravítko. Budeme-li mít nějakou podrobnější mapu, např. měřítka 1: 1000 a provedeme-li stejný proces s kružítkem, výsledkem bude větší hodnota TÉ SAMÉ DÉLKY pobřeží.

Dokonce délka jakéhokoliv úseku tohoto pobřeží bude zpravidla větší. Důvod je zřejmý - ve větším měřítku jsme neviděli všechny skutečné zákruty, členitosti a nepravidelnosti onoho pobřeží. Když toto pobřeží obejdeme v reálu pěšky, získáme ještě větší délku toho samého útvaru a pokud bychom se stali mravenci a museli kopírovat ještě menší členitosti a nemohli bychom si např. cestu přes balvan krátit cestou po přímce, naše "nejkratší možná cesta v daném měřítku", tedy příslušná vzdálenost by byla ještě větší a co víc, se zmenšujícím se měřítkem by mohla růst vlastně do nekonečna, pokud bychom se někdy v zmenšování měřítka nezastavili! Čili ostrov o konečné ploše má nekonečnou délku pobřeží - jak šokující!

Když si vzpomeneme, že délka jakékoliv "rozumné" křivky, která má dimenzi jedna (můžeme ji napodobit třeba nití), se blíží při podobném procesu měření v různých měřítkách nějakému KONEČNÉMU číslu, hned vidíme rozdíl. Naše nekonečně "kostrbaté" pobřeží musí rozhodně zabírat v rovině více místa, musí v ní být poněkud hustší, než "obyčejná" hladká a jednorozměrná křivka, avšak zabírá zároveň méně místa, než dvojrozměrný, tedy plošný útvar.

Pokud tedy nějaký útvar svojí důležitou vlastností leží "mezi" útvarem jednorozměrným a dvojrozměrným, očekávali bychom, že bude existovat nějaký parametr mezi 1 a 2, který bude mít asi charakter dimenze a bude roven 1 a 2 pro ony zmíněné "normální útvary". Ukazuje se, že je tomu skutečně tak a že tento parametr souvisí s různou rychlostí, s jakou "délka" oněch "podivných" křivek roste nad všechny meze do nekonečna.

Tato zobecněná, neceločíselná dimenze, se nazývá fraktální dimenzí (nebo též podle objevitele tzv. "Hausdorffovou dimenzí") - od slovního základu "frakce" čili zlomek, úlomek, něco "necelého" a útvary, které mají tuto neceločíselnou dimenzi, se nazývají FRAKTÁLY.

Nutno říci, že tyto představy se neomezují na rozměry od 1 do 2, např. při zkoumání různých nekonečně členitých hor či mraků se usoudilo, že jejich fraktální dimenze se nacházejí mezi 2 a 3, protože si je můžeme přiblížit pomocí systému maličkých plošek, které se však při bližším pohledu rozdělí do ještě menších systémů plošek atd. atd. Takže členitost při zvětšování měřítka zůstává stále PODOBNÁ struktuře z menších zvětšení.

Tato takzvaná SOBĚPODOBNOST (nikoliv stejnost!) fraktálních útvarů je vlastně hlavním jejich znakem a většinou je také považována za jejich definici. Tuto přítomnost podobných útvarů při zvětšování detailů nenajdeme na klasických, elementárních útvarech, jako jsou na začátku zmiňované krychle, koule, čtverce apod.

Když zvětšíme nějakou kouli, neuvidíme v ni menší kulové struktury apod. Je ovšem pravda, že pomocí těchto elementárních tvarů, jako jsou úsečky, trojúhelníky, čtverce, koule, kříže apod., a jejich nekonečným zmenšováním a vnořováním můžeme fraktální útvary "uměle vyrobit" a napodobit tak přírodu, která je už vlastně dávno zná.

Princip opakování podobných tvarů v zmenšené podobě je vidět nejen u neživých útvarů, ale i u živých organizmů a jejich skupin, prakticky u jakékoliv komplexní, složité struktury, která je vytvářena i pomocí VELMI JEDNODUCHÝCH PRAVIDEL. Způsob, jakým probíhá větvení stromů (silnější větve se rozbíhají ve stále menší a tenčí větvičky) či cév a žil v tělech živočichů nebo hromadění např. baktérií a řas v koloniích a možná i tučňáků na ostrovech v polárních mořích se dá popsat jediným nástrojem: jazykem fraktální geometrie.

Tento jazyk je však schopen vysvětlit ještě více: slouží nejen k pochopení morfologie složitých statických prostorových struktur, ale je schopen pojmout i složité děje, které se odehrávají v čase, tedy jevy DYNAMICKÉ. Uvidíme, že princip koexistence jednoduchých výchozích pravidel a komplexního, složitého výsledného tvaru platí i zde. Lze jej chápat i jako princip koexistence řádu a chaosu v jediném objektu.

2. Fraktální geometrie potkává teorii chaosu ("podivné" atraktory dynamických systémů) Fyzikální soustavy při svém vývoji v čase opisují různé dráhy - grafy v prostoru - proto je možno je dobře "zviditelňovat" na počítačích. Pro pohyb jednoho idealizovaného hmotného bodu vystačíme s 3 - rozměrným prostorem jeho souřadnic (když zahrneme ještě 3 složky jeho vektoru rychlosti, bude jich 6- to je tzv. fázový prostor), při pohybu pevných, pružných a kapalných těles, které obsahují bodů daleko víc, musíme sáhnout k matematické abstrakci vícerozměrných (někdy nekonečněrozměrných) prostorů, které si neumíme přímo vizuálně představit, ale matematicky a počítačově se dají v principu zvládnout, někdy se dokonce daří počet dimenzí fyzikálních problémů znatelně snížit.

Klasická mechanika popisovala systémy, jejichž dráhy se daly vyjádřit pomocí přesných deterministických vzorců a byly v podstatě ekvivalentní hladkým a "normálním" tvarům klasické geometrie s celočíselnou dimenzí. Rovnice, které popisovaly chování těchto systémů či těles, byly většinou (i když ne vždy) lineární, tj. jednotlivé veličiny v nich byly navzájem přímo úměrné. Vzájemné silové působení v těchto soustavách bylo také tak "rozumné", že nevedlo k příliš velkým a nespojitým, náhlým a nepředpověditelným nestabilitám. Triumfem klasického determinismu byly úspěchy mechaniky nebeských těles, pohybů planet kolem Slunce či jednodušších hvězdných systémů - čili pohyby pod vlivem gravitačního pole.

Avšak už od konce minulého století klasická mechanika (a dynamika vůbec) začala narážet na vážné potíže. Zatímco pohyb soustavy dvou hmotných těles (např. Slunce a Jupitera) bylo možno vypočítat pomocí vzorců (tzv. analyticky) a tyto výsledky souhlasily skvěle s realitou, už výpočet pouhých 3 těles s porovnatelnou hmotností vedl ke krizi mechaniky - bylo dokázáno, že analytické řešení neexistuje!!! Čili není možno teoreticky spočítat a tedy předpovědět dráhy například soustavy 3 blízkých hvězd o stejné hmotnosti.

V řešení tohoto problému byly objeveny podivné nestability, které vedly k chaotickému chování u záležitosti, která sama o sobě nijak chaotická či náhodná nebyla (rovnice byly striktně dány). Chaotické chování se začalo rozpoznávat i jinde - u turbulentních (vířivých) pohybů kapalin, u vývoje populací různých živočichů, ekologických systémů vůbec, u vývoje počasí a klimatu, a na mnoha dalších místech. Každý z nás zná situaci, když meteorologům nevyjde jejich předpověď, počítaná na skvělých počítačích a člověk přesto zmokne, i když mělo být třeba úplně jasno.

Jakmile se však v příslušných meteorologických a jiných rovnicích vyskytne velká míra vzájemného ovlivňování uvnitř systému (což je vyjádřeno značnou mírou nelinearity těchto rovnic), nelze se spolehnout na sebelepší počítače. Proč? Protože sebemenší změna teploty, tlaku či hustoty vzduchu a rychlosti větru vede ke značně odlišnému vývoji v budoucnosti.

Proto nelze v principu předpovídat budoucnost většiny složitých jevů a systémů a zejména ne lidských osudů či světa jako takového. Z tohoto hlediska se jeví praxe věštců, kartářek, jasnovidců a astrologů jako naprosto pochybná, vždyť pouhá banánová slupka může s vaším osudem zamávat více než vzdálené hvězdy nebo jakési "předurčení". Teorie chaosu ve skutečnosti vypovídá o tom, že cosi jako předurčení nemůže v složitých jevech vůbec existovat. Tento zneklidňující fakt má však i pozitivní líc - jelikož nejsme předurčeni, máme značnou svobodu pohybu, myšlení, jednání a je hlavně na nás, jaký bude náš "osud".

Citlivost vývoje a dynamiky na nepatrné změny (či výchylky) na počátku bývá označována jako "Motýli efekt". V některých případech je totiž možné i to, že když motýl mávne slabě křídly třeba v Austrálii, může to vyvolat o týden později (v původně nehybné atmosféře) tornádo o mnoho tisíců kilometrů odtud. V praxi je však tento efekt přehlušen daleko silnějšími vlivy, než je motýlí mávnutí, samozřejmě, v neposlední řadě vlastní dynamikou atmosféry.

Je však pohyb atmosféry skutečně naprosto chaotický? Opravdu neexistuje nic, co by aspoň trochu rozhodovalo o budoucnosti počasí, o budoucnosti vývoje populací, co by k sobě přitahovalo jejich vývoj? Odpověď zní: ano, takové útvary existují, nejsou však tak jednoduché, jak jsme byli zvyklí z klasické fyziky a matematiky či geometrie. Co přitahuje dynamické systémy na jejich dráze.

Lorenzův "podivný" atraktor.
Při hraní kuliček se soutěží o to, kdo jich "pošle" víc do důlku. Kalkulujeme jako se samozřejmostí, že kulička, poslaná jemně do důlku skončí na jeho dně, že je tam jakoby "přitahována". A skutečně, ve fyzice se nejnižší bod prohlubně, kde kulička skončí, nazývá atraktorem. Atraktorem je však jakákoliv množina, kam jeví i jakékoliv jiné těleso tendenci směřovat či se v něm trvale pohybovat. V případě planety, pohybující se kolem Slunce je tímto atraktorem buď kružnice, nebo elipsa čili sympaticky názorné, hladké křivky o konečné délce, které se dokonce brzy uzavírají, takže v nich je planeta najisto trvale vázána.

Podobné křivky či útvary jsou atraktorem jakéhokoliv jednoduchého systému klasické nechaotické fyziky, chemie či biologie. Například pokud je dráha rovinného kyvadla s malými výchylkami pozorována ve dvoudimenzionálním fázovém prostoru jeho úhlové výchylky a rychlosti této výchylky, vidíme jako permanentní jeho dráhu opět kružnici. U stabilních systémů dokonce tyto atraktory "přitahují" všechny stavy ve svém blízkém okolí.

V polovině 60. let 20. století byl meteorolog Edward Lorenz postaven před tento úkol: spočítat numericky na počítači tehdejší úrovně vývoj jistého velmi zjednodušeného modelu počasí (vyjádřeného poměrně stručnými rovnicemi a jistými parametry charakteru konstant), které mělo pouze 3 proměnné, měnící se v čase. Byl velmi překvapen nestabilitou a chaotickým vývojem tohoto meteorologického modelu, protože s velmi nepatrnými změnami výchozích dat se dostavovaly zcela rozdílné meteorologické výsledky.

Ani zmenšování diferencí dat na jakoukoliv úroveň leckdy nevedlo ke zvýšení spolehlivosti předpovědi. Odhalil však, že přesto se vypočtená "dráha" vývoje pohybuje v rámci jistého podivného útvaru (obr. Lorenz, velikost 16337 b). Vzhledem k tomu, že tento atraktor, který na sebe vázal řešení tohoto chaotického povětrnostního modelu neměl charakter "normální" křivky, která by se uzavírala a nebo by se alespoň dala popsat vzorcem, byl označen slovem "podivný". Později se zjistilo, že tento podivný atraktor je FRAKTÁLEM a je to "křivka" o nekonečné délce, obsažená v konečném prostorovém objemu! Při některých parametrech Lorenzových rovnic je fraktální dimenze jeho atraktoru o něco větší než 2!

Nutno říci, že chaotické atraktory jsou z velké části fraktály, že však ne všechny fraktály jsou chaotické - příkladem je např. Sierpinskeho trojúhelníková krajka (obr. Sierpinski, velikost 16840 b), křivka von Kochové, Cantorův prach (diskontinuum) aj.. Kritériem fraktálnosti je SOBĚPODOBNOST, nezávislost tvaru na velikosti měřítka, což nevylučuje pravidelnost (ale ani ji to nevyžaduje ). Avšak soběpodobnost chaotických fraktálů je jistým druhem řádu, který je znakem deterministického chaosu.

Fraktálová struktura se objevuje i u tzv. diagramů BIFURKACÍ (obr. bifurkace, velikost 9941 b) což je větvení vlastností rovnic při změně parametrů, je to extrémní případ nestability, kdy jedna a ta samá situace má 2 různá, rozbíhající se řešení.

3. Mandelbrotova množina.
Dynamika umocňování komplexních čísel. Obraťme však svou pozornost k ještě jednodušeji utvořenému fraktálu, který vzniká při "nevinném" opakovaném umocňování čísel, a to čísel komplexních (komplexní čísla jsou jistým zobecněním reálných čísel, která známe např. z pravítek -fakticky jde o rozšíření této oblasti o druhou - tzv.imaginární dimenzi, prostřednictvím imaginární jednotky I, což je symbolická odmocnina z čísla "-1", která není "reálným číslem", avšak přesto má důležité aplikace v matematice, fyzice a inženýrství).

Jednoduché umocnění čísla na druhou a přičtení jistého konstantního komplexního čísla C je základní krok tohoto algoritmu. Za první Z se bere u Mandelbrotovy množiny nula, další je výsledek prvního kroku, tj. 0 na druhou + C = C, když toto podrobíme onomu konstantnímu výpočetnímu kroku, dostaneme C na druhou + C atd. Výsledkem je, že C hodně vzdálené od nuly rychle "míří" k nekonečnu, ty blízké k nule naopak míří k nule.

Tyto tendence se vyrovnávají v jistém hraničním pásu, který však při bližším prozkoumání má nekonečně jemnou strukturu. (tento hraniční pás obsahuje zhruba řečeno body, které ani "neulétávají" do nekonečna, ani "nekolabují" k nule, ale víceméně se většinou pohybují stále uvnitř hraničního pásu - je to vlastně chaotický atraktor onoho zacykleného početního procesu).

Abychom tuto strukturu zviditelnili, přiřadíme rozdílnému chování bodů různé barvy z celé barevné palety. To všechno pak můžeme shlédnout na grafickém výstupu nějakého standardního fraktálového programu (např. FRACTINT), který má zpravidla kreslení "mapy" Mandelbrotovy množiny v sobě zabudováno (obr. Mandelbrot, velikost: 36182 b). To, že tato členitá struktura nemizí při jakémkoliv zvětšení, si můžeme ověřit ZOOMOVÁNÍM, čili zvětšováním jakýchkoliv míst v tomto fraktálu. (obr. Mandelbrot, velikost: 19752 b) Občas zahlédneme i víceméně podobnou repliku celé Mandelbrotovy množiny, takže vidíme, že bychom se do ní mohli skutečně nořit do nekonečna.

Drobnou modifikací uvedeného postupu bychom ještě získali systém fraktálních Juliových množin (obr. Julia, velikost: 24441 b), z nichž každá se vztahuje k jednomu každému konkrétnímu bodu Mandelbrotovy množiny, ale to bychom už zabíhali do podrobností... Struktura Mandelbrotovy množiny je velmi složitá a její matematické zkoumání je velmi náročné (existují však ještě daleko složitější chaotické či fraktální objekty). I pouhý pohled na ni nám však leccos dá.

4. Fraktály a chaos v nás, v našem životě.
Dá se říci, že čím má nějaký systém blíže k životu, k živým organismům a lidem, tím spíše na něm nalezneme známky nepravidelnosti, neperiodičnosti a vůbec nepředpověditelnosti. Hlavním důvodem je fakt, že živý organismus se musí rychle adaptovat na měnící se životní podmínky a musí maximalizovat schopnost svého přežití. To by nedokázal, kdyby stále setrvával ve snaze po jednoduché stabilitě. Ostatně největší stabilitou se vyznačuje stav naprostého klidu - což je v případě živého organismu smrt.

Životní projevy potřebují ke své adaptaci nějaký účinný prostředek regulace. Víme, že maximálně důležitým orgánem, který určuje a reguluje náš životní rytmus, je srdce. Při sledování signálů z EKG se zaznamenalo, že srdce vykazuje nepravidelnosti, typické pro nelineární dynamické systémy, rozhodně není přesně periodické a dovede se dokonale synchronizovat třeba s rytmem dechu. Otázka, zda to, co u srdce pozorujeme, je chaos či ne, zatím zůstává otevřená a mezi odborníky o tom nepanuje jednota.

Každopádně metody, vyvinuté teorií chaosu se osvědčují u mnoha biologických a fyziologických problémů, týkajících se člověka, např. tzv. chaotické filtry umějí oddělit EKG signál plodu od celkového signálu EKG matky a dalšího šumu. Pokud je EKG signál srdce naprosto periodický, jedná se často o patologické stavy, např. fibrilaci.

Míra deterministického chaosu u srdce je zatím diskutabilní a bohužel je tomu tak asi i u mozku. Činnost mozku a jeho signál EEG je napohled tím chaotičtější, čím bohatší je jeho momentální myšlenkový výkon. Existují také studie, které dávají velikost fraktální dimenze atraktoru "myšlení" do souvislosti s bohatostí duševního života - čím větší dimenze, tím snad pestřejší vnitřní svět. Menší fraktální dimenze procesu myšlení je prý pozorována např. při epileptických stavech.

Avšak vyskytly se i práce, které přítomnost deterministického chaosu u mozku zpochybňují - prý chaotičnost je vysvětlitelná ryze náhodnými vlivy. Vše je tedy otázkou dalších výzkumů. Navíc fraktální dimenze ještě sama o sobě plně nevystihuje nějaký fraktál - existují různé fraktály se stejnou dimenzí. Samotný povrch mozku je údajně fraktální, jeho dimenze je zpravidla o něco větší než by odpovídalo běžné, hladké ploše, tedy větší než číslo 2. Tato členitost souvisí s "pověstnými" závity mozkové kůry.

Systém cév a plicních alveol se nepochybně větví způsobem, který lze v jistých měřítcích popsat fraktálním způsobem. Samozřejmě v sobě nemáme nekonečný povrch plicních sklípků či nekonečnou délku cév nebo nervů, ale tyto veličiny budou zřejmě velmi velké, protože naše buňky musí být dokonale vyživeny a inervovány. (obr. neuron, velikost: 24970 b)

Jisté studie se zabývají i možnou fraktální strukturou naší genetické informace - nukleových kyselin DNA a RNA. Pokud jde o záznam informace, jistou dobu se používají i metody fraktální komprese dat, které využívají soběpodobných míst v souborech, třeba obrazových (obrázcích). Příbuznou metodou je chaotické šifrování, kdy příjemce kódované zprávy musí mít jistý chaotický algoritmický klíč.

Na závěr si proveďme ještě "chaotický" myšlenkový experiment: Předpokládejme, že se ve stejný okamžik narodí tisíc geneticky stejných naklonovaných jedinců. Podle představ astrologů nebo klasického mechanického determinismu by tito jedinci měli žít takřka stejný život. Patrně však výsledek bude značně odlišný, jejich životní dráhy se náramně rychle rozběhnou od sebe pryč. Zatím tento pokus nemůžeme uskutečnit v praxi. Nicméně i bez toho lze provést mnoho jiných ověření teorie deterministického chaosu.

Samozřejmě, že fraktální technika nebývale ovlivnila design a výtvarné umění, hlavně computerart. Známý program Photoshop má fraktální plug-iny, firma Fractal Design aj. používá ve svých obrazových editorech fraktálových textur a pozadí a fraktálové scenérie a krajiny se objevují často ve sci-fi filmech, snad už od doby Hvězdných válek - konkrétně díl Impérium vrací úder. 5. Fraktály a chaos na Zemi a ve vesmíru.

Začalo to turbulencí kapalin a vývojem počasí - pokračuje to zemětřesením a vývojem naší Sluneční soustavy. Všude zde vidíme příklady nepravidelného až chaotického chování. (obr. plasma, velikost: 33865 b) Pokud jde o fraktály, byla vystopována hierarchická fraktální organizace hmoty ve vesmíru ve velkých měřítcích: od soustav hvězd a hvězdokup přes galaxie a jejich kupy, nadkupy a metagalaxie. Přesnější kosmologická teorie, která si klade za cíl popsat vznik Vesmíru včetně Velkého třesku, musí navíc s přihlédnutím ke kvantovým jevům sáhnout i ke koncepci "zpěněného" či "zdrsnělého" - a tedy fraktálního - časoprostoru. Vidíme tedy, že spíše než vyjmenovat oblasti, kde se můžeme s fraktály setkat, je jednodušší uvést speciální případy toho, kde fraktály nejsou.

6. Zdroje populárních fraktálových informací, obrázků, animací a programů na Internetu
6.1. Základní informace o fraktálech
[Y1] Fractal Frequently Asked Questions and Answers. Mnoho hyperlinků na jiné zdroje (na Oxfordské univerzitě).
[Y2] Archiv pro newsgroup 'sci.fractals FAQ'.
[Y3] Archiv pro newsgroup 'sci.fractals FAQ'.
[Y4] Archiv pro newsgroup 'sci.fractals FAQ'.
[Y5] Fractal Frequently Asked Questions and Answers
[Y6] Důležitý rozcestník: Fraktály na serveru 'Spanky'.
[Y7] Complexity On-line (průvodce fraktály a teorií chaosu).
[Y8] Encyklopedie fraktálů na 'WWW Virtual Library'.
[Y9] Strange Attractors. Podivné atraktory.
[Y10] What is a Fractal?
[Y11] Fractals and Chaos References.
[Y12] Fractal Frequently Asked Questions and Answers.
[Y13] Fractal FAQ.
[Y14] Application of Chaos Theory to Psychological Models. Glossary.
[Y15] Cosmos, Chaos, and Fractals.
6.2. Fraktálové galerie a videa.
[Y16] Česká fraktálová galerie.
[Y17] Fractal Movie Archive (animace a zoom fraktálů - filmy).
[Y18] Dobrá fraktálová galerie.
[Y19] Sprott's Fractal Gallery.
6.3. Fraktálový software
[Y20] Program FRACTINT pro zobrazování fraktálů. (název souboru začíná buď písmeny FRAIN*** pro DOS či WINF**** pro Windows, velikost souboru v zip-archivu je pouhych 500 až 600 kB. Najdete jej i na mnoha známých ftp či sharewareových serverech).
[Y21] FRACTINT fractal types.
[Y22] FRACTINT fractal types.
[Y23] Další bohatý zdroj animací a software.
[Y24] Adresář mnoha vizualizačních i výukových programů.
[Y25] The Fractal Music Project (základní stránka tohoto tématu).
[Y26] Stránka s programy generativní hudby KOAN (využívá je i známý ambientní guru Brian ENO)
[Y27] New Koan software.
[Y28] SONIC FRACTAL ambient music.
[Y29] Music software program Art Song for Windows 3.

7. Doporučená literatura (knihy)
[1] James Gleick: Chaos (Ando 1996, recenze např. v časopise Živel č.6)
[2] Coveney, Highfield: Šíp času (Oldag 1995, recenze např. Živel č.5)
[3] Horák, Krlín: Deterministický chaos a matematické modely turbulence (Academia 1996)
[4] Marek, Schreiber: Stochastické chování deterministických systémů (Academia 1984)
[5] Coveney, Highfield: Frontiers of Complexity (The search for order in a chaotic world) (Faber and Faber 1995)