Děkuji vám. Prosím omluvte mne, že se posadím; jsem velmi starý. (smích) Téma které bych chtěl představit je v jistém smyslu velice zvláštní, protože je velmi staré. Hrubost je součástí lidského života už od nepaměti. I pradávní autoři o tomto tématu psali. Bylo to velmi nezvládnutelné. A v jistém smyslu se to zdálo nesmírně komplexní, jen ten zmatek a zmatek a zmatek. Je ale vícero druhů zmatku. Ale díky naprosté shodě okolností jsem se před pár lety zapletl do studia této formy komplexností.

A k mému obrovskému překvapení jsem našel stopy - vlastně bych měl říci velmi silné stopy - řádu v těchto hrubostech. A proto bych vám dnes ukázal pár příkladů, které toto reprezentují. Preferuji říkat slovo hrubost raději než nepravidelnost, protože nepravidelnost - jak by někdo kdo měl latinu, tak jako já za mého mládí - vyjadřuje opak pravidelnosti. Ale tomu tak není. Pravidelnost je opakem hrubosti, protože základní aspekt tohoto světa je velmi hrubý.

Takže mi dovolte ukázat vám pár objektů. Některé z nich jsou umělé. Některé jsou velmi reálné, svým způsobem. Toto je reálné. Jedná se o karfiol. Proč ukazuji karfiol, takovou obyčejnou a starodávnou zeleninu? Protože tak stará a pradávná jak může být, je velmi komplikovaná a velmi jednoduchá, obojí zároveň. Pokud se pokusíte karfiol zvážit, bude to velmi snadné. A pokud ho jíte, pak je váha důležitá. Ale předpokládejme, že budete chtít změřit plochu jeho povrchu.

To už je zajímavější. Pokud odkrojíte ostrým nožem jeden z květů karfiolu a podíváte se na něj zvlášť, budete si myslet, že máte celý karfiol, jen menší. A pak odkrojíte znovu kousek, a znovu, a znovu, a znovu, a znovu, a znovu, a znovu. A budete pořád dostávat malé karfioly. Takže lidská zkušenost ukazuje, že kolem nás vždy byly nějaké tvary, které mají tuto zvláštní vlastnost, kdy každá část je jako celek, jen menší. A jak myslíte, že se k tomu lidstvo postavilo? Veskrze nijak. (smích)

Takže já jsem začal studovat tento problém, a našel něco velmi zajímavého. A to, že se dá měřit hrubost číslem, ano číslem. 2,3 nebo 1,2 a někdy i o mnoho více. Jednoho dne mi můj přítel, aby mne vykolejil, přinesl obrázek a řekl: "Jaká je hrubost této křivky?" A já řekl, "tak něco těsně pod 1,5." Bylo to 1,48. Nedalo mi to vůbec žádnou práci. Díval jsem se na tyto věci předtím tak dlouho.

Takže tato čísla jsou čísla, která vyjadřují hrubost daných povrchů. Dovoluji si zdůraznit, že tyto povrchy jsou kompletně umělé. Byly vytvořeny v počítači. Jediným jejich vstupem bylo číslo. A to číslo byla hrubost. A tak nalevo jsem okopíroval hrubost z mnoha přírodních tvarů. vpravo jsem použil hrubost o trochu vyšší. Takže oko, po chvíli pozorování, dokáže rozlišit tento rozdíl velice dobře.

Lidstvo se muselo naučit jak měřit hrubost. Toto je velmi hrubé, toto je jemnější, a toto perfektně hladké. Velmi málo věcí je perfektně hladkých. Takže pokud pokládáte otázky jako: Jaká je plocha povrchu karfiolu? Můžete měřit a měřit a měřit. A pokaždé, kdy jste blíže, dostanete větší hodnotu, tak jak zabíháte do těch malých detailů. Jaká je délka břehů těchto jezer? Čím blíže měříte, tím je delší. Koncept délky břehů, který se zdá být tak přirozený, protože je v mnoha případech daný, je vlastně kompletní klam. Není taková věc. Musíte to udělat odlišně.

K čemu je to dobré vědět tyto věci? Překvapivě, k mnoha užitečným věcem. Mohli bychom začít umělými krajinami, které jsem svým způsobem vynalezl, jsou dnes používány skoro ve všech filmech. Vidíme v nich hory v dálce. To mohou být reálné hory, ale také matematické formule dosazené do scény. Dnes je to velmi snadné. Dříve to bylo velmi časově náročné, ale nyní již ne. Teď se podívejte na toto. To jsou skutečné plíce. Plíce jsou velice zvláštní věc. Pokud je vezmete, zjistíte poměrně přesně, že váží velmi málo.

Objem plic je také docela malý. Ale jak je to s plochou plic? Anatomové se o tom neustále velice dohadují. Někteří říkají, že normální mužské plíce jsou velké jako plocha vnitřku basketbalového míče. Někteří jiní říkají, že je to pět basketbalových míčů. To jsou enormní rozdíly. Proč tomu tak je? Protože plocha plic je něco velmi neurčitého.

Průduškové větve se dále větví a větví. A přestanou se větvit ne proto, že by v tom byl nějaký princip, ale proto, že narazí na fyzické limity, na hlen, který je v plicích. Takže co se stane je, že máte daleko větší plíci, která se větví a větví až do rozměrů stejných pro velrybu, člověka nebo malého hlodavce.


K čemu je dobré toto vědět? Velmi překvapivě a udivujícně, anatomové měli až donedávna velmi malou představu o struktuře takových plic. A já myslím, že moje matematika, dosti překvapivě, velice pomohla chirurgům studujícím onemocnění plic a také onemocnění ledvin, všech těchto větvivých systémů, protože jsme pro ně neměli žádnou geometrii. Takže jsem se jinými slovy stal konstruktérem geometrie, geometrie věcí, které neměly žádnou geometrii. A překvapujícím aspektem celé věci je, že pravidla této geometrie jsou velmi často extrémně krátká. Dostáváte rovnice takto krátké. A pak je párkrát zamotáte. Někdy opakovaně, znova a znova a znova. Stále stejná opakování. A ve výsledku dostanete věci jako tuto.

Tento mrak je zcela, stoprocentně umělý. Dobře, řekněme na 99,9 procent. Jediná část, která je přirozená je číslo, které vyjadřuje hrubost tohoto mraku, které je odvozené od přírody. Něco tak komplikovaného jako mrak, tak nestabilního, tak proměnlivého, by mělo mít velmi jednoduché pravidlo vzniku. Toto jednoduché pravidlo není ozřejmení existence mraku. Věštec z mraků to musí vzít v potaz. Nevím, jak moc vyspělé jsou tyto obrázky, jsou velmi staré. Velmi jsem se tomuto tématu věnoval, ale pak jsem obrátil svoji pozornost na jiné fenomény.

Nyní vám ukáži něco jiného, co je také velice zajímavé. Jeden z momentů, které otřásly historií matematiky, což se mnoha lidem dost nelíbilo, nastal tak před 130 lety, možná před 145 lety. Matematici začali vytvářet vzorce, které neexistují. Matematici začali věřit velice ohromujícím způsobem tomu, že člověk může vymyslet věci, které příroda neznala. Konkrétně, že může vymyslet například křivku, která naplní plochu. Křivka je křivka a plocha je plocha, ty dvě se normálně nepotkávají. Ale nakonec se potkaly.

Muž jménem Peano takové křivky nadefinoval a to se stalo předmětem netušeného zájmu. Bylo to velmi důležité a zároveň zajímavé kvůli určitému průlomu, předělu mezi matematikou zakládající na realitě na straně jedné a novou matematikou vymyšlenou čistě člověkem na straně druhé. Bylo mi velice líto, že jsem ukázal, že lidská mysl vlastně teprve dokázala uchopit, co bylo viditelné už dlouhou dobu. A tak mi dovolte, abych vám něco ukázal.

Soustava plynoucích řek jako křivek v rovině. A tak začal příběh o sobě samém. Bylo to mezi 1875 a 1925, v té vyjímečné době, ve které se matematika připravila na průlom mimo svět. A objekty, které se používaly jako příklady když jsem byl mladým studentem, byly příkladem průlomu matematiky a viditelné reality - tyto objekty jsem pak otočil vzhůru nohama. Použil jsem je, abych popsal některé aspekty komplexnosti přírody.

Budiž, v roce 1919 člověk jménem Hausdorff představil číslo, které bylo jen matematickým vtipem. Ale já jsem zjistil, že toto číslo bylo výborné měřítko hrubosti. Když jsem to poprvé řekl mým kolegům matematikům, řekli mi: "Nebuď blázen, je to jen něco nesmyslného." Ale já jsem nebyl blázen. Velký malíř Hokusai to věděl velmi dobře.

Věci, které viděl kolem sebe byly řasy. A on neznal matematiku; ta v té době ještě nebyla. Byl to Japonec, který neměl žádný kontakt se západním světem. Ale to co dlouhou dobu maloval mělo fraktálové prvky. Mohl bych o tom hovořit velmi dlouho. Také Eiffelova věž měla fraktálové prvky. Četl jsem knihu, kterou pan Eiffel napsal o své věži. A skutečně bylo velice ohromující, jak moc rozuměl.

Je to zmatek, zmatek, zmatek. Brownova smyčka. Jednoho dne jsem se rozhodl, v polovině své kariéry, kdy mne drželo tolik věcí při práci, že se otestuji. Uměl bych se podívat na něco, čím se každý zabýval už velmi dlouho a přesto najít něco zásadně nového? Tak jsem se podíval na tento jev zvaný Brownův pohyb - který se objevuje dost často. Chvíli jsem si s ním hrál, a pak jsem ho donutil vrátit se do výchozího bodu.

Pak jsem řekl svému asistentovi: "Nevidím tam nic, můžeš to namalovat?" A on to namaloval, což znamená, že tam zahrnul vše. Pak řekl: "Tohle je výsledek... " A já jsem řekl: "Stop, stop, stop! Já vidím ostrov." A to bylo překvapení. Takže Brownův pohyb, který má shodou okolností číslo hrubosti 2, může být cyklický. Já jsem ho změřil na 1,33. Znovu, znovu a znovu. Dlouhá měření, velké Brownovy pohyby, a výsledek 1,33. Matematický problém.

Jak ho vyřešit? Mým přátelům to trvalo 20 let. Tři z nich měli nekompletní důkaz. Sešli se dohromady a společně měli důkaz celý. Takže za to dostali Fieldsovu cenu za matematiku, jednu ze tří cen, která byla udělena lidem, kteří dokázali věc, kterou já jsem viděl bez možnosti jí dokázat.

Dnes se mne každý tu a tam ptá: "Jak to celé začalo? Jak ses dostal k tak zvláštnímu směru?" Co vlastně způsobilo, že jsem se najednou stal inženýrem mechaniky, geografem a matematikem, a tak dále, a fyzikem? Vlastně to začalo velice podivně, konkrétně studiem indikátorů trhu. A díky tomu jsem měl tuto teorii, a napsal jsem o ní knihu "Přírůstky na finančních trzích". Nalevo vidíte data za dlouhé období. Napravo, nahoře vidíte teorii, která je velmi úhledná.

Bylo to poměrně snadné, a dá se o tom v krátké době napsat spousta knih. (smích) Takových knih už existují tisícovky. Porovnejme to nyní se skutečným nárůstem cen. A kde jsou ty skutečné nárůsty cen? Některé z těchto dalších čar ukazují skutečné cenové nárůsty a některé jsem napodobil já. Ta základní myšlenka byla, že musí být možné - jak se to přesně řekne? - modelovat cenové výkyvy. A před 50 lety to šlo velice dobře. 50 let se mnou lidé tak nějak laškovali, protože to dokázali udělat daleko snadněji. Ale v momentě, kdy jsem to popsal, mě začali poslouchat. (smích)

Tyto dvě křivky jsou průměry. Standard & Poor, ta modrá. A ta červená je také Standard & Poor, ze které je odstraněno pět největších nespojitostí. Nespojitosti jsou velmi nepříjemné. V mnoha studiích cenových vývojů jsou záměrně vynechávány. "To jsou Boží zásahy." A pak vám zůstane ten zbylý nesmysl. "Boží zásahy" v tomto obrázku, tyto Boží zásahy jsou stejně důležité jako ostatní. Jinak řečeno, nejsou to Boží zásahy, které bychom měli vynechávat. To je to samotné maso, ten problém. Pokud zvládnete pochopit tyto, pochopíte celý problém. A pokud nezvládnete tyto, můžete si zvládat ty malé kousky okolo jak moc chcete, ale bude to irelevantní. Tady jsou pak křivky výsledku.

Nyní bych chtěl zmínit závěrečnou věc, problém, u kterého stojí v názvu mé jméno. Svým způsobem je to můj životní příběh. Dospíval jsem během německé okupace ve Francii. A stále jsem myslel na to, že příští den nebo týden už bych nemusel být. Měl jsem velké sny, a po válce jsem se znovu setkal se strýcem. On byl v té době prominentním matematikem a řekl mi: "Podívej, toto je problém, který jsem nebyl schopen vyřešit před 25 lety, a který nedokáže zatím vyřešit nikdo. Toto je konstrukt lidí jménem Gaston Julia a Pierre Fatou. Pokud bys dokázal najít něco nového, cokoliv nového, postará se ti to o kariéru." Velmi snadné. Tak jsem se tím zabýval, a podobně jako tisíc lidí přede mnou jsem nenalezl nic.

Ale pak přišly první počítače. A já jsem se rozhodl použít je. Ne na nové problémy v matematice - jako tady to hola, hola, tady je nový problém - ale na staré problémy. A tak jsem přešel z tak zvaných reálných čísel, což jsou body na křivce, k číslům imaginárním, tzv. komplexním, což jsou body na ploše. A to je to co se mělo stát. Výsledkem byl tento tvar. Tento tvar je nesmírně komplikovaného řádu. Je v něm schována rovnice, ve které se z blíží z na druhou plus c. Je to tak jednoduché a tak suché. Tak nezajímavé.

A teď tu rovnici jednou zdeformujete, dvakrát, a začnou se dít zázraky. Tím myslím takové věci. Nechci je do detailu vysvětlovat. Jen ukážu výsledky, toto z toho vznikne. Tvary, které jsou neskutečně komplikované, ale přesto harmonické a krásné. I toto z toho vznikne. Opakovaně, znovu a znovu a znovu. A jeden z mých největších objevů bylo zjištění, že tyto malé ostrůvky jsou to samé jako ten celý obrazec, více či méně. A z toho dostanete tyto vynikající barokní dekorace po celé ploše.

Všechno toto jenom z jedné rovnice, která má všehovšudy pět členů. I toto z toho vznikne. Přidal jsem barvu ze dvou důvodů. Jednak jsou tyto tvary natolik komplexní, že by, vyjádřeny v číslech, nedávaly žádný smysl. A kdybychom je zakreslili, museli bychom zvolit nějaký systém. Takže můj postup byl vždy ukazovat tyto obrazce s odlišným zabarvením, protože některá zabarvení zdůrazňují to, jiná zase něco jiného. Je to skutečně komplikované.

(smích)

V roce 1990 jsem byl v Cambridge abych převzal cenu univerzity. A o tři dny později přelétal pilot nad krajinou a našel tuto věc. Odkud si myslíte že se vzala? Samozřejmě od mimozemšťanů. (smích) Takže v novinách v Cambridge otiskli článek o tomto "objevu" a další den dostali 5 tisíc dopisů od lidí, kteří říkali: "Ale to je jednoduše jen Mandelbrotova množina, jen zvětšená"

Takže abych to zakončil, tento tvar vzniknul jako cvičení v čisté matematice. Nekonečné zázraky vznikající z jednoduchých pravidel, která se donekonečna opakují.

Velmi vám děkuji za pozornost.